logo

MÁQUINAS SIMPLES DERIVADAS DE LA PALANCA

Joan Mª. Riera de Olmedo

LA POLEA FIJA

LA POLEA MÓVIL

EL TORNO

EL APAREJO ORDINARIO

EL APAREJO DIFERENCIAL

Con vuestro permiso y abusando de vuestra paciencia, que se que es mucha, me atrevo a proponeros un repaso de las máquinas simples derivadas de la palanca, como son la polea fija, la polea móvil, el torno, el aparejo ordinario y el aparejo diferencial, por ser máquinas muy utilizadas en las marinas de todos los tiempos con profusión.

Voy a intentar resumirlo todo lo que pueda con el fin de no marear con matemáticas e ir al concepto más claro y comprensible posible sin su uso.

POLEA FIJA


La polea fija esta constituida por una rueda cuya periferia se ha labrado con una garganta que sirve de alojamiento a una cuerda o cable; se apoya en uno o dos cojinetes y trabaja contra ellos mediante rozamiento o mediante rodadura.

Supuesta la polea girando con movimiento uniforme y en equilibrio, debe verificarse: ∑M = 0, siendo M el momento de una fuerza respecto al eje O. Pero vemos que de estos momentos hay dos, el de la fuerza motriz F y el de la resistencia útil Ru que, haciendo positivos los que tienden a giros en sentido directo y negativos a los que tienden en sentido retrógrado, valen respectivamente:

F * r         y        - Ru * r

Estos valores introducidos en la ecuación dan:

F*r – Ru *r = 0,      de donde      F*r = Ru * r

Y simplificando:

F= Ru

Vemos pues que en la polea ideal, con una fuerza motriz dada vencemos una resistencia útil igual a ella. Aunque aparentemente no exista ventaja, la utilidad de la polea es la siguiente:

  • Cambia de signo o invierte el sentido de la fuerza motriz, lo cual permite, por ejemplo, levantar un peso haciendo el esfuerzo hacia abajo, y, por tanto, con mayor comodidad.
  • Permite levantar un peso a mayor altura que si se le tomara en las manos.
  • Se emplea como elemento constructivo en la obtención de otras máquinas simples.

En la polea real, aun teniendo en cuenta la rigidez de la cuerda, rigidez que fue estudiada por Coulomb, la fuerza motriz ha de ser mayor que la resistencia útil, por dos motivos:

  • Para suministrar el trabajo necesario para doblar y enderezar continuamente la cuerda, el cual trabajo se convierte en calor y la calienta.
  • Para equilibrar una resistencia útil cuyo brazo de palanca es más largo.

Teniendo en cuenta lo expuesto y aplicando las matemáticas necesarias se llega a la fórmula:

F = a + b * Ru

Donde a y b son parámetros, cuyos valores pueden determinarse mediante cálculo, como veremos en la polea móvil, o bien efectuando dos ensayos con resistencias útiles distintas y fuerzas motrices también distintas.

Con estas cuatro fuerzas conocidas por haberse medido mediante dinamómetro, planteamos las ecuaciones siguientes:

F'=a+b*R'u     F''=a+b*R''u

En el cual las incógnitas son a y b; determinados sus valores numéricos lo llevamos a la expresión anterior y obtendremos la ley particular de la polea experimentada.

Ir al inicio

LA POLEA MÓVIL

Si se disponen dos poleas como se índica en la figura, se obtiene la máquina llamada “polea móvil”.

Si se trata de una máquina ideal, la fuerza motriz F produce a través de la polea 1 una tensión igual a t’ en el tramo de cuerda siguiente; esta tensión, a su vez, se transmite íntegramente a través de la polea 2, y produce la tensión t”, de manera que en resumen se tiene:

F = t’= t”

Por otra parte Ru se descompone en el punto O de intersección de los dos tramos y en las direcciones de estos, en dos fuerzas que han de ser también las tensiones t’ y t” y por lo tanto iguales entre sí, por consiguiente Ru será bisectriz del ángulo AOB y asimismo del COD.

Aunque en la figura no ha quedado bien y no se puede apreciar, los triángulos CO”D y OAE son semejantes, de cuya semejanza deducimos:

AO/EO = 02D/CD

Y como:

AO = t’ = F    ///   EO = Ru   ///    02 = radio = R   ///   CD = cuerda = c

Sustituyendo se tiene :

F/Ru = r/c

De donde:

F = r/c*Ru

De esta ecuación se desprende que la ventaja es tanto mayor cuanto menor es el ángulo COD; en las aplicaciones se le anula, haciendo que los tramos HC y DG sean paralelos, en tal caso, aunque el triángulo CO2D haya degenerado en un segmento rectilíneo, la fórmula es igualmente válida; pero como ahora la cuerda c vale dos radios, se tiene que:

F = r/2r * Ru///   F = 1/2Ru

Resulta pues que en la polea móvil ideal de guarnes o tramos paralelos, la fuerza motriz vale la mitad de la resistencia útil.

Si pasamos a considerar la polea móvil real de guarnes paralelos y por causas de las resistencias pasivas y realizando las operaciones matemáticas pertinentes a partir de la fórmula de la polea fija, se obtiene la forma:

Fr = K0 + K * Ru (siendo K0 y K parámetros)

análoga a la de la polea simple de la cual se deriva.

Ir al inicio

EL TORNO

Véase un torno dispuesto como se indica en la figura 1, y del cual, sin tener en cuenta los rozamientos ni la rigidez de la cuerda, consideramos la longitud de manivela l y el radio de tambor más el de la cuerda, a cuyo total llamaremos r. Si F es la fuerza motriz y Ru la resistencia útil, como sus momentos respecto al eje AB son contrarios para el estado de movimiento uniforme, o sea de equilibrio, deberá verificarse:

F*l = Ru*r    o bien     F = r/l * Ru

y esta es la ley del torno ideal.

Pero si consideramos los rozamientos en los cojinetes de apoyo, la posición mas desfavorable del torno es la representada en la figura 2, puesto que en tal posición la carga sobre los apoyos, que vale Fr+P+Ru es máxima y máximo, por tanto, el rozamiento que se genera, siendo Fr la fuerza motriz, P el peso de la parte móvil de la máquina supuesta equilibrada, es decir, con su centro de gravedad sobre el eje AB, y la resistencia Ru útil, es pues para esta posición que debe calcularse la fuerza motriz necesaria.

Las fuerzas Fr son el par motor y las Ru del par resistente. El par resistente y las Fr, P, Ru, la carga sobre los cojinetes de radio r0.

El par de que se dispone vale:

Fr*l

El par necesario para levantar la carga y vencer la rigidez vale, según hemos visto anteriormente:

A/2+(B/2+r)*Ru

El par necesario para hacer girar un eje en sus cojinetes vale la carga por el radio del eje y por el seno del ángulo de rozamiento:

(Fr+P+Ru)r0senφ

Se tendrá:

Fr*l=A/2+(B/2+r)*Ru+(Fr+P+Ru)

Que realizando las operaciones matemáticas necesarias nos permiten obtener los parámetros K0 y K, que son:

K0=A/2+P r0senφ/l-r0senφ    y     K=B/2+r+r0senφ/l-r0senφ/l-r0senφ

Resultando ser:

Fr=K0+K*Ru

Que es la ley del torno real.

Ir al inicio

EL APAREJO ORDINARIO

Sea un aparejo ordinario, ver figura, constituido por dos motones, A y B y un cabo que enlaza sucesivamente a las poleas de que están provistos los motones. El motón fijo A se sustenta en el punto de anclaje, y el motón móvil B a la carga o resistencia útil que hay que vencer; la fuerza motriz se aplica sobre la tira C.

Si no hay rozamientos, la fuerza motriz F se transmite integramente a través de la primera polea, creando en el primer guarne o tramo una tensión t1 igual a ella. Esta tensión actúa de fuerza motriz de la segunda polea y así sucesivamente se crean tantas tensiones como guarnes tiene el aparejo y que son todas iguales a la fuerza motriz F, de manera que se tiene:

F=t1=t2=t3=..........=tn

Como estas tensiones soportan la resistencia útil Ru resulta que:

t1+t2+t3+..........+tn=Ru

y en virtud de la igualdad anterior también será:

F+F+F+… ͜n….+F = Ru

F*n=Ru

F=l/n*Ru

Esta ecuación nos dice que en un aparejo ordinario ideal la fuerza motriz es igual a la resistencia útil dividida por el número de guarnes.

Pero en la realidad se han de tomar en cuenta las resistencias pasivas, tales como en los casos anteriores y que siempre son las mismas, en este caso se verificará:

Fr>t1>t2>t3>..........>tn

Y aplicando la ley de las poleas a cada una de las que componen el aparejo ordinario y aplicando las matemáticas necesarias, llegamos a la ecuación.

Fr=K0+K*Ru

Que es la ley del aparejo ordinario, habida cuenta de las resistencias pasivas.

Los valores K0 y K pueden, como en el caso de la polea, calcularse directamente, mediante los parámetros a y b, o por medio de dos experimentos que permitan establecer dos ecuaciones con fuerzas conocidas y en las que K0 y K son las incógnitas.

Ir al inicio

EL APAREJO DIFERENCIAL

Se llama aparejo diferencial al que está dispuesto como se indica en la figura. Las poleas 1 y 2 son solidarias al mismo eje o lo que es lo mismo, son una sola pieza. Una cadena ordinaria envuelve en la forma indicada las tres poleas que constituyen esta máquina.

Si no existen resistencias pasivas, de la consideración de la polea 3 se deduce que:

t'=t''

al mismo tiempo ha de verificarse que:

t'+t''=Ru     se tiene que     t'=t''=Ru/2

Establecida esta relación y observando la figura, vemos que las fuerzas que tienden a hacer girar las poleas 1 y 2 en el sentido de la flecha, que es el de ascenso de la carga, son F y la t'' mientras que la t' es la única fuerza que se opone.

Como estando la máquina en equilibrio, la suma de los momentos de las fuerzas motrices ha de ser igual a la suma de los momentos de las fuerzas resistentes, tendremos.

F*r1+t''*r2=t'*r1

Sustituyendo t'' y t' según la igualdad anterior:

F*r1+Ru/2*r2=Ru/2*r1     y operando se tiene     F*r1=Ru/2*(r1-r2)

de donde

F=r1-r2/r1*Ru

Esta ecuación, ley del aparejo diferencial ideal, nos dice que con esta máquina la fuerza motriz necesaria para vencer una resistencia útil, es tanto menor cuanto menor es la diferencia de radios entre las poleas solidarias.

Si se toman en cuenta las resistencias pasivas y llamamos Fr a la fuerza notriz necesaria, el momento motor será:

F*r1+t''*r2

Estableciendo los momentos resistentes debido a la resistencia útil y a la rigidez de la cadena para cada una de las poleas 1 y 2 y teniendo en cuenta que para la polea 2 se considera sólo en su mitad izquierda. Aplicando los conceptos a las matemáticas necesarias para establecer la ley del aparejo diferencial, matemáticas que omito, no por complicadas sino por lo largo que es su procedimiento y que no he creído necesario a lo largo de estos apuntes, llegamos a la conclusión que:

Fr=K0+K*Ru

Esta expresión nos dice que el aparejo diferencial tiene una ley de la misma forma que la polea fija, que la polea móvil, que el torno y que el aparejo ordinario. Naturalmente, como hemos visto en cada caso los parámetros se calculan o establecen de diferente manera.

Otra conclusión que se saca del estudio de estas máquinas es que su rendimiento no es constante, sino que es función de la resistencia útil, de tal manera que, cuando esta aumenta, el rendimiento también aumenta; cuanto antecede podríamos resumirlo diciendo que el rendimiento es una función creciente de la resistencia útil.

EPÍLOGO

Espero no haberos aburrido mucho, se que estas cosas lo son para algunos, pero tampoco se obliga a nadie a leerlos y como dice el provervio chino:

  • El que sabe y sabe que sabe, es un sabio, imítalo
  • El que sabe y no sabe que sabe, está dormido, depiértalo
  • El que no sabe y sabe que no sabe, es un ignorante, instrúyelo
  • El que no sabe y no sabe que no sabe, es un necio, desprécialo

Gracias a todos por aguantarme. Pero no os dejo aquí. Espero publicar algunas cosas que os resulten más interesantes o ser más amenas.

Ir al inicio